Вплив стаціонарного та збуреного стану поля центральних сил на фрактальні характеристики аттрактора

Abstract

У статті показано, що відомі алгоритми генерування та конструювання фрактальних множин можуть бути суттєво розширені завдяки запропонованому авторами сімейству нових алгоритмів. Дані алгоритми базуються на моделюванні аттракторів руху матеріальної точки в полі N центральних сил у дискретній постановці. При випадковому включенні в кожен момент часу лише однієї з цих сил аттрактор точки має строго фрактальну будову. Показано, що збурення однієї чи кількох із N центральних сил призводить до зміни структури аттрактора. Так, області аттрактора Dзб, що контролюються збуреними силами, зі збільшенням радіуса збурення еволюціонують до траекторії збурення. Для бігармонійних збурень показано, що ці підмножини належать внутрішній області 2n–кола. При цьому встановлено, що при малих значеннях радіуса збурення R параметр n→∞, а при великих значеннях R параметр n→1. Для поля центральних сил у вигляді матриць 2х2; 3х3; 5х5 побудовані кількісні моделі n(2R/B; m) та показано їх тісну кореляцію з параметром збурення R, розміром сторони В квадратної матриці поля центральних сил і «гравітаційного» параметра m. Показано, що гносеологія запропонованих алгоритмів бере початок від відомого алгоритма М. Барнслі, однак фізична та програмна складові значно вдосконалені та розвинені. Запропоноване сімейство алгоритмів дозволяє розширити можливості генерування оригінальних (ексклюзивних) фрактальних множин до ~1040…1050 штук. При цьому є можливість керувати фрактальною розмірністю, пористістю, питомою вагою, аеродинамічним і гідравлічним опором, шумо-звуко-теплоізоляційними властивостями, забарвленням окремих підобластей тощо в широких діапазонах значень. Показано, що значна частина таких фрактальних множин, особливо ті, що мають високий ступінь симетрії, можуть бути корисні для вирішення задач дизайну, ергономіки та естетики, для оздоблення будівель, одягу, взуття, галантерейних виробів, іграшок, а також для створення головоломок, IQ-тестів тощо.

The paper states that the known algorithms for generating and constructing fractal sets can be significantly expanded through the family of new algorithms proposed by the authors. These algorithms are based on modelling the attractors of motion of a material point in the field N of central forces in a discrete formulation. When only one of these forces is accidentally switched on at any given time, the point attractor has a strictly fractal structure. It is shown that the perturbation of one or more of the N central forces leads to a change in the structure of the attractor. Thus, the areas of the attractor Dp, controlled by the perturbed forces, with an increase in the perturbation radius, evolve to the perturbation trajectory. For biharmonic perturbations, it is shown that these subsets belong to the inner region of the 2n–point. It has been established that for small values of the perturbation radius R the parameter n → ∞, and for large values of R the parameter n → 1. For the field of central forces in the form of matrices 2*2; 3*3; 5*5 the quantitative models n(2R/B; m) are constructed and their close correlation with the perturbation parameter R, the size of the side B of the square matrix of the field of central forces and the «gravitational» parameter m is shown. It is shown that the gnoseology of the proposed algorithms originates from the well-known algorithm of M. Barnsley, but the physical and software components are significantly improved and developed. The proposed family of algorithms allows to expand the possibilities of generating original (exclusive) fractal sets up to ~ 1040… 1050 pieces. At the same time, it is possible to control the fractal dimension, porosity, specific gravity, aerodynamic and hydraulic resistance, noise, sound and thermal insulation properties, colour of individual subregions, etc. in a wide range of values. It is shown that a significant part of such fractal sets, especially those with a high degree of symmetry, can be useful for solving problems in the field of design, ergonomics and aesthetics, for decorating buildings, clothing, footwear, haberdashery, toys, as well as for creating puzzles, IQ-tests, etc.

В статье показано, что известные алгоритмы генерации и конструирования фрактальных множеств могут быть существенно расширены благодаря предложенному авторами семейству новых алгоритмов. Данные алгоритмы основаны на моделировании аттракторов движения материальной точки в поле N центральных сил в дискретной постановке. При случайном включении в каждый момент времени только одной из этих сил аттрактор точки имеет строго фрактальную структуру. Показано, что нестабильность одной или нескольких из N центральных сил приводит к изменению структуры аттрактора. Так, области аттрактора Dзб, контролируемые нестабильными силами, с увеличением радиуса эволюционируют к траектории нестабильности. Для бигармонийных нестабильностей показано, что эти подмножества принадлежат внутренней области 2n-круга. При этом установлено, что при малых значениях радиуса нестабильности R параметр n → ∞, а при больших значениях R параметр n → 1. Для поля центральных сил в виде матриц 2х2; 3х3; 5х5 построены количественные модели n (2R / B; m) и показано их тесную корреляцию с параметром нестабильности R, размером стороны В квадратной матрицы поля центральных сил и «гравитационного» параметра m. Показано, что гносеология предложенных алгоритмов берет начало от известного алгоритма М. Барнсли, однако физическая и программная составляющие значительно усовершенствованы и развиты. Предложенное семейство алгоритмов позволяет расширить возможности генерирования оригинальных (эксклюзивных) фрактальных множеств до ~ 1040 ... 1050 штук. При этом есть возможность управлять фрактальной размерностью, пористостью, удельным весом, аэродинамическим и гидравлическим сопротивлением, шумо-звуко-теплоизоляционными свойствама, окраской отдельных подобластей и т.д. в широких диапазонах значений. Показано, что значительная часть таких фрактальных множеств, особенно те, которые имеют высокую степень симметрии, могут быть полезны для решения задач дизайна, эргономики и эстетики, для отделки зданий, одежды, обуви, галантерейных изделий, игрушек, а также для создания головоломок, IQ-тестов и т.д.