(Min, max)-еквівалентність скінченних частково впорядкованих множин та додатна визначеність квадратичної форми Тітса

Abstract

Дисертаційну роботу присвячено вивченню квадратичної форми Тітса скінченних частково впорядкованих множин за допомогою методу (min, max)-еквівалентності та застосуванню отриманих результатів у теорії зображень. Основними результатами дисертації є повний опис скінченних частково впорядкованих множин із додатно визначеною формою Тітса та P-критичних частково впорядкованих множин. Доведено, що будь-яка частково впорядкована множина з додатно визначеною формою Тітса порядку n>7 є серійною. Доведено також, що частково впорядкована множина є P-критичною тоді і лише тоді, коли вона (min, max)-еквівалентна деякій критичній множині Клейнера. Вказані результати застосовано в останньому розділі дисертації до вивчення частково впорядкованих множин, категорія ін'єктивних зображень яких має rep-скінченний тип.

The disertation is devoted to the study of the quadratic Tits form of finite posets by the method of (min, max)-equivalence, and applications of received results in the theory of representations of posets. The main results of the disertation are classifications the posets with positive Tits form and P-critical posets. It is proved that any poset with positive Tits form of order n>7 is serial, and that a poset is P-critical if and only if it is (min, max)-equivalent to some critical Kleiner set. In the last chapter of the dissertation the indicated results apply to the study of posets with the category of injective representations to be of $rep$-finite type.

Диссертационная работа посвящена изучению квадратичной формы Титса конечных частично упорядоченных множеств с помощью метода (min, max)-эквивалентности, а также применению полученных результатов в теории представлений частично упорядоченных множеств. Основным результатом диссертации является полное описание конечных частично упорядоченных множеств с положительно определенной формой Титса и P-критических частично упорядоченных множеств. Доказано, что любое частично упорядоченное множество с положительно определенной формой Титса порядка n>7 серийное. Доказано также, что частично упорядоченное множество является P-критическим тогда и только тогда, когда оно (min, max)-эквивалентно некоторому критическому множеству Клейнера. Описания несерийных частично упорядоченных множеств с положительно определенной формой Титса и P-критических частично упорядоченных множеств получены методом «(min, max)-эквивалентности», предложенным научным руководителем. Доказано, что (min, max)-эквивалентность множеств равнозначна min-эквивалентности. Описан алгоритм, с помощью которого можно классифицировать все частично упорядоченные множества, min-эквивалентные фиксированному частично упорядоченному множеству. Показано, что любое частично упорядоченное множество с положительно определенной формой Титса (min, max)-эквивалентно частично упорядоченному множеству без циклов и частично упорядоченному множеству ширины w<3. Указанные результаты применяются в последнем разделе диссертации для изучения частично упорядоченных множеств inj-конечного типа (т. е. таких, категория инъективных представлений которых имеет rep-конечный тип). Доказано, что частично упорядоченное множество с положительно определенной формой Титса имеет inj-конечный тип. Доказано также, что для квазипримитивного частично упорядоченного множества S, не являющегося самодуальным, категории инъективных представлений множеств S и Sop имеют (одновременно) rep-конечный тип тогда и только тогда, когда форма Титса S есть положительно определенная.